平方根怎么算出来(开平方根的方法和步骤)

如你所知,并非所有数的算术平方根都是整数。

有一些数开平方是整数。比如,我们都知道100的算术平方根是整数10:

阿基米德得有多难?只用纸和笔,怎么精确计算算术平方根

再比如,256 的算术平方根是16:

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但更多情况下,开平方的结果不是整数。比如,

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显然没有任何一个整数的平方是11。对11开平方,将会得到一个小数,确切说是一个无限不循环的小数,或无理数

如果你手边有计算器,计算这样的开平方非常简单。你一定听说过古希腊著名的数学家阿基米德。他在研究曲线问题时,经常会遇到手算开平方的问题。如果只给你纸和笔,手动去估算一下 11 的算术平方根,要怎么做呢答案就是一个字:猜!

当然不是乱猜:先框定一个大范围

就以数字11为例,我们知道 11 开平方的结果,一定在 3 和 4之间的,因为3的平方是9,4的平方是16:

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猜一个范围内的数字,然后验证

有了大范围,就在这个范围内猜一个数字,比如3.5,

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这个计算是可以在纸上演算的,甚至可以口算。此时,发现 12.25 > 11 , 所以你的猜测是偏大了的。

缩小猜测的范围继续

既然3.5偏大,那我们就缩小范围到数字3 和 3.5之间,在此范围内继续精确计算下去。比如,我们可以猜测 3.3:

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你看出来了吗,每一次的猜测,会帮助我们将范围进一步的缩小,进一步的精确化。显然,3.3 比 11的开平方结果要小一点,但已经接近不少。如果我们需要更精确,那就要继续这样推算下去,下一步我就要在 3.3 ~ 3.5 这一范围内找一个数字去试了。

可以看出

依据上面的方法一直推算下去,其精确度会越来越高,但计算复杂程度也会越来越高。计算小数点后一位数字的平方简单,但是如果小数点后有10位,你可以尝试在纸上算算(阿基米德不容易啊) 

猜平均值,提高一点效率

注意到了吗,上面我们在猜数字的时候,是在一个范围内随自己喜好或者感觉任意选了个数字,有没有更好的办法?

比如,当我们圈定了 3.3 ~ 3.5 这个数字范围后,如何去选择这个数字呢?就把3.3和3.5做一个平均,即选定数字为

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这样的选法,能让我们更快地逼近,更有效的缩小数值范围。

总之

如果这个结果需要的精度很高,那我们需要重复的轮数就越多。

比如,拿计算机模拟一下,按上述过程计算5轮的情况下,11开平方的结果是:3.34375,提高精度计算10轮,结果是:3.3173828125,而如果计算20轮:3.316624641418457。不知道有没有人能有这个耐心在纸上计算下 3.316624641418457 的平方是多少。

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